قدمتها التدريسية م.م. اسراء عبد الجليل مجيد في قسم الهندسة المدنية – جامعة المستقبل تعرض هذه المقالة طريقة الفروق المحدودة (FDM) بوصفها أداة عددية لحل المعادلات التفاضلية الجزئية الحاكمة للتسرب والتوحيد والإجهاد في أسس السدود والمنشآت المائية. وتبيّن أن بساطتها ووضوح معناها الفيزيائي وكفاءتها في المسائل المنتظمة تجعلها مناسبة للتحليل البارامتري السريع وللتحقق من نتائج البرامج التجارية. الكلمات المفتاحية: الفروق المحدودة، التسرب، التوحيد، الضغط المسامي، السدود. 1. الأساس الرياضي تُستبدل المشتقات بتقريبات جبرية من مفكوك تايلور عند عقد شبكة بخطوة h: الفرق الأمامي والخلفي: (fᵢ₊₁ − fᵢ)/h و(fᵢ − fᵢ₋₁)/h، بدقة من الرتبة h. الفرق المركزي: (fᵢ₊₁ − fᵢ₋₁)/2h، بدقة من الرتبة h². المشتقة الثانية: (fᵢ₊₁ − 2fᵢ + fᵢ₋₁)/h². وتتحول المعادلة التفاضلية إلى منظومة جبرية تُحل مباشرة أو تكرارياً (غاوس-سايدل، SOR). ويُحكم على المخطط العددي بثلاثة معايير: الاتساق والاستقرار والتقارب، وتضمن مبرهنة لاكس التقارب متى تحقق الأولان في المسائل الخطية. 2. التطبيقات الجيوتقنية التسرب المستقر. تحكمه معادلة لابلاس ∂²h/∂x² + ∂²h/∂z² = 0، وتؤول في الشبكة المربعة إلى hᵢ,ⱼ = ¼(hᵢ₊₁,ⱼ + hᵢ₋₁,ⱼ + hᵢ,ⱼ₊₁ + hᵢ,ⱼ₋₁). وبشروط الحدود (شحنة ثابتة عند المنبع والمجرى، وحدود كتيمة عند القاعدة والصخر) تُستخرج كمية التسرب وضغط الرفع والميل الهيدروليكي الخارجي لفحص التآكل الداخلي (Piping). وتُعدَّل المعادلة عند اختلاف kₓ وk_z أو تعدد الطبقات، ويُكرَّر الحل لتحديد خط التشبع في السدود الترابية. التوحيد أحادي البعد. تُحل معادلة تيرزاغي ∂u/∂t = c_v ∂²u/∂z² بمخططين، حيث r = c_v·Δt/Δz²: الصريح: uᵢⁿ⁺¹ = uᵢⁿ + r(uᵢ₊₁ⁿ − 2uᵢⁿ + uᵢ₋₁ⁿ)، ويشترط r ≤ 0.5. الضمني (كرانك-نيكلسون): مستقر دون قيد على الخطوة الزمنية، بدقة من الرتبة الثانية، ويُحل بخوارزمية توماس للمنظومة ثلاثية القطر. وتعالج الطريقة طبقات متعددة وأحمالاً متغيرة (ملء الخزان وتفريغه) وتصريفاً أحادياً أو مزدوجاً، وتنتج منحنيات التساوي الزمني ومنحنى الهبوط مع الزمن. الجريان غير المستقر. تُحل معادلة S·∂h/∂t = ∇·(k∇h) لتقدير الضغط المسامي المحتبس أثناء الهبوط السريع للمنسوب، وهو مدخل تحليل ثبات المنحدر. الإجهاد والتشوه. يعتمد برنامج FLAC على الفروق المحدودة بخوارزمية صريحة تتابعية، فيناسب المسائل غير الخطية ذات التشوهات الكبيرة والانهيار التدريجي دون تجميع مصفوفات صلادة ضخمة. 3. المزايا والحدود المزايا: سهولة البرمجة (Python وMATLAB وExcel)، ووضوح المعنى الفيزيائي، وكفاءة عالية في المسائل المنتظمة وأحادية البعد، ومرونة في إدخال الخواص وشروط الحدود، وصلاحية للتحقق المستقل وللدراسات البارامترية. الحدود: صعوبة تمثيل الحدود المنحنية، ومحدودية تكثيف الشبكة قرب مناطق التركز (أسفل قدم السد، طرف ستارة الحقن)، وهي مناطق تتفوق فيها طريقة العناصر المحدودة. ويُفضَّل الجمع بين الطريقتين تكاملاً. 4. مثال عددي طبقة طينية سمكها 6 م، وc_v = 2×10⁻⁷ م²/ث، وتوحيد 90% عند T_v = 0.848: تصريف مزدوج (H_dr = 3 م): t = 0.848×9/(2×10⁻⁷) ≈ 3.8×10⁷ ث ≈ 1.2 سنة. تصريف أحادي (H_dr = 6 م): نحو 4.8 سنة (أربعة أضعاف). وللتحقق عددياً يُستخدم Δz = 0.5 م وΔt ≤ 6.25×10⁵ ث في المخطط الصريح، ثم يُقارن الحل بالتحليلي. 5. توصيات اعتماد المخطط الضمني في التوحيد طويل الأمد. تكثيف الشبكة حيث يشتد تغير الشحنة أو الضغط المسامي. إجراء اختبار استقلال الحل عن الشبكة قبل اعتماد النتائج. مقارنة النتائج بحلول تحليلية أو ببرامج مستقلة. الاعتماد على معطيات تربة موثوقة، فدقة الحل لا تعوّض ضعف المعطيات. 6. الخاتمة توفر طريقة الفروق المحدودة وسيلة بسيطة وفعالة لمحاكاة التسرب والتوحيد والجريان غير المستقر والإجهاد في أسس السدود والمنشآت المائية، وتدعم قرارات التصميم المتعلقة بضغط الرفع والميل الخارجي وزمن التوحيد وثبات المنحدرات، شريطة التحقق من الشبكة والاستقرار والتقارب. المراجع Smith, G. D. (1985). Numerical Solution of Partial Differential Equations: Finite Difference Methods. Oxford University Press. Terzaghi, K. (1943). Theoretical Soil Mechanics. Wiley. Cedergren, H. R. (1989). Seepage, Drainage, and Flow Nets. Wiley. Potts, D. M. & Zdravković, L. (1999). Finite Element Analysis in Geotechnical Engineering: Theory. Thomas Telford. Itasca Consulting Group. FLAC User’s Manual. Crank, J. & Nicolson, P. (1947). Proc. Cambridge Philos. Soc., 43(1), 50–67.